Como buscar dados completos do banco de dados da tabela através de RMI utilizando o método de matriz?

Métodos abstratos em interfaces remotas não pode ser estático, por isso, você precisa alterar a definição de interface para o seguinte.

public interface Interface extends java.rmi.Remote {
    public String[] getArray() throws RemoteException;
}

Valores retornados pelos métodos remotos deve ser serializável. Arrays em java são serializáveis, no entanto matrizes têm um tamanho fixo e já que você está retornando o resultado de uma consulta de banco de dados, você não sabe o tamanho. Portanto, eu sugiro que o método getArray retornar um ArrayList ou melhor ainda, um CachedRowSet.

public interface Interface extends Remote {
    public CachedRowSet getArray() throws RemoteException;
}

Desde de classe TheImplementation é a sua RMI de classe de servidor, provavelmente é melhor para log de exceções ao invés de exibir um JOptionPane e você deve sempre faça o rastreamento de pilha. Note que remota de métodos deve declarar que eles jogam RemoteException a fim de informar o cliente RMI que o método remoto falhou. Portanto, além de registrar a exceção, método getArray também pode lançar um RemoteException.

O código a seguir demonstra.

import java.rmi.Remote;
import java.rmi.RemoteException;
import java.rmi.server.UnicastRemoteObject;
import java.sql.Connection;
import java.sql.ResultSet;
import java.sql.SQLException;
import java.sql.Statement;

import javax.sql.rowset.CachedRowSet;
import javax.sql.rowset.RowSetFactory;
import javax.sql.rowset.RowSetProvider;

public class TheImplementation extends UnicastRemoteObject implements Interface {

    public TheImplementation() throws RemoteException {
        super();
    }

    private static final long serialVersionUID = -3763231206310559L;

    public CachedRowSet getArray() throws RemoteException {
        try (Connection con = ConnectionProvider.getConnection();
             Statement st = con.createStatement();
             ResultSet rs = st.executeQuery("select * from details")) {
            RowSetFactory factory = RowSetProvider.newFactory();
            CachedRowSet fruitDetails = factory.createCachedRowSet();
            fruitDetails.populate(rs);
            return fruitDetails;
        }
        catch (SQLException e) {
            throw new RemoteException("Method 'getArray()' failed.", e);
        }
    }
}

Note que o código acima usa também tentar-com-recursos para garantir que o ResultSet, Statement e Connection estão todas fechadas.